\chapter{单摆运动方程的数学物理推导} 

%\begin{abstract} 
	本文系统推导理想单摆的运动微分方程，通过牛顿力学法、能量守恒法和拉格朗日力学三种方法建立数学模型，分析小角度近似的线性解与大角度非线性的椭圆积分解，并讨论实际应用中的修正因素。 
%\end{abstract}

\section{牛顿力学推导} 
\subsection{受力分析} 设摆长$L$，摆球质量$m$，摆角$\theta(t)$随时间变化。重力切向分量为： 
\begin{equation} F_t = -mg\sin\theta 
\end{equation}

\subsection{运动方程建立} 
根据牛顿第二定律： 
\begin{equation} mL\ddot{\theta} = -mg\sin\theta \end{equation} 
整理得非线性微分方程： 
\begin{equation} \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0 
\end{equation}

\subsection{小角度近似} 当$\theta < 5^\circ$时，$\sin\theta \approx \theta$，方程退化为简谐振动： 
\begin{equation} \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0,\quad \omega_0 = \sqrt{g/L} \end{equation}
 周期公式为：
 \begin{equation} T = 2\pi\sqrt{L/g} 
 \end{equation}

\section{能量守恒法推导} 
系统机械能守恒： 
\begin{equation} \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + mgL(1-\cos\theta) = E \end{equation} 
对时间求导得： 
\begin{equation} mL^2\dot{\theta}\ddot{\theta} + mgL\dot{\theta}\sin\theta = 0 
\end{equation} 
约去$\dot{\theta}$后与牛顿法结果一致。

\section{拉格朗日力学推导} 
定义拉格朗日量： 
\begin{equation} \mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 - mgL(1-\cos\theta) \end{equation} 
通过欧拉-拉格朗日方程： 
\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} \end{equation} 
同样导出原始运动方程。

\section{非线性修正} 
大角度下周期精确解需椭圆积分：
 \begin{equation} T = 4\sqrt{L/g},K(\sin(\theta_{\max}/2)) \end{equation} 
 其中$K(k)$为第一类完全椭圆积分。表1给出角度修正系数：

\begin{table}[h] \centering \caption{摆角对周期的影响} \begin{tabular}{lll} \hline 摆角$\theta_{\max}$ & 周期修正系数 & 相对误差 \\ \hline $10^\circ$ & 1.0019 & 0.19\% \\ $30^\circ$ & 1.0174 & 1.74\% \\ $60^\circ$ & 1.0732 & 7.32\% \\ \hline 
\end{tabular} 
\end{table}

\section{结论} 
三种方法殊途同归，揭示单摆运动的非线性本质。小角度近似在工程中广泛应用，而大角度分析对精密仪器设计具有指导意义。

\chapter{牛顿环的发现与解释} 
	
	\section*{摘要} 本文重现了1675年牛顿在《光学》中记载的环状干涉现象实验，系统阐述其基于光微粒说的"阵发性理论"解释模型。通过原始实验数据与理论推演的对比，揭示微粒说体系下对薄膜干涉现象的认知局限与历史贡献。
	
	\section{实验发现} 
	\subsection{装置设计} 
	平凸透镜（曲率半径$R=10.6,\text{m}$）与平面玻璃接触。
	
	日光通过45°反射镜垂直入射。 
	
	观察反射光形成的彩色同心圆环（见图\ref{NewtonsRings}） 
		
	观察到的同心环数和间距值（见图\ref{NewtonsRings2}） 

	杨氏双缝实验（见图\ref{YoungsDoubleSlitExperiment}） 

	
\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{NewtonsRings} \caption{牛顿原始手稿中的环纹记录（1675）} \label{NewtonsRings} \end{figure}
	
	\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{NewtonsRings2} \caption{牛顿原始手稿中的环纹记录（1675）} \label{NewtonsRings2} \end{figure}
	
\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{YoungsDoubleSlitExperiment} \caption{杨氏双缝实验（1801）} \label{YoungsDoubleSlitExperiment} \end{figure}
	
	\subsection{关键观测} 
	\begin{equation} r_k \propto \sqrt{k}\quad (k=1,3,5,...) \end{equation} 其中$r_k$为第$k$个亮环半径，牛顿测得白光照射时：
	 
	\begin{tabular}{|c|c|} \hline 环序数 & 半径相对值 \\ \hline 1 & 1.00 \\ 3 & 1.73 \\ 5 & 2.24 \\ \hline \end{tabular}
	
	\section{微粒说解释模型}
	 \subsection{阵发性理论} 牛顿提出光粒子具有周期性状态： \begin{align*} &\text{容易反射态（Fits of Reflection）} \ &\text{容易透射态（Fits of Transmission）} \end{align*}
	
	\subsection{干涉机制} 空气膜厚度$d$处两反射光粒子状态差： \begin{equation} \Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda_{\text{eff}}}(2d) \end{equation} 当$\Delta \phi = 2\pi m$时形成亮环，其中$\lambda_{\text{eff}}$为微粒"状态周期"。
	
	\section{理论局限} \begin{enumerate} 
		\item 无法解释水介质中$\lambda_{eff}$的变化规律 
		\item 对高阶环纹间距压缩现象缺乏数学描述 
		\item 未考虑半波损失导致的中心暗斑机制 \end{enumerate}
	
	\section{结论} 牛顿的微粒说模型虽能定性描述环纹分布，但其数学形式未发展为完备的干涉理论。该研究为19世纪波动光学建立提供了关键实验基础。

 

